بحث رائد من قبل علماء الرياضيات البولنديين حول تناظر جميع التماثلات

تمكن علماء الرياضيات البولنديون من حل مشكلة مهمة تتعلق بـ تناظر جميع التماثلات لتحل. كانت هذه مشكلة لم يتم حلها لعدة عقود - واحدة من أكبر التحديات للنظرية الهندسية للمجموعات.

نتائج د. ماريك كالوبا (جامعة آدم ميكيفيتش ومعهد كارلسروه للتكنولوجيا) ، والبروفيسور داويد كيلاك (جامعة أكسفورد) والبروفيسور بيوتر نوفاك (المعهد الرياضي للأكاديمية البولندية للعلوم) في واحدة من أكثر المجلات الرياضية شهرة حوليات الرياضيات veröffentlicht.

مصدر الصورة: Pixabay

لقد حللنا مشكلة معينة مفتوحة منذ فترة طويلة من خلال إظهار أن عائلة لانهائية معينة من كائنات جبرية - مجموعات - له الخاصية T وبالتالي فهو غير متوافق تمامًا مع الهندسة الإقليدية هو "، يلخص Nowak.

و د. يضيف ماريك كالوبا: بفضل بحثنا ، فهمنا بعض الجوانب الهندسية للمجموعات التي تشفر جميع التماثلات.
الكائنات ذات الامتداد الملكية Tالتي فحصناها لها خصائص هندسية غريبة جدًا (لا يمكن تسميتها تناظرات في الهندسة الإقليدية سوف تتحقق). هل يبدو هذا منفصلاً عن الواقع؟ على السطح ، نعم. لكن معرفة هذه الخاصية المعقدة لـ T وجدت تطبيقًا بالفعل. إنها تمكن ، على سبيل المثال ، من بناء الموسعات - الرسوم البيانية مع عدد كبير من الاتصالات ، والتي يمكن العثور عليها في خوارزميات التدفق يستخدم. ومثل خوارزميات هي من بين أشياء أخرى لعرضها الاتجاهات على تويتر verantwortlich.

ظهرت مسألة ما إذا كانت المجموعات التي درسناها تمتلك مثل هذه الخاصية T مطبوعة في التسعينيات. عندما كنت طالب دكتوراه ، كانت تلك مشكلة أواجهها في كل محاضرة ومؤتمرات أخرى نظرية المجموعة سمع - يلخص بيوتر نواك.
ويضيف Dawid Kielak: تشرح نتائجنا كيفية عمل خوارزمية معينة. إنها خوارزمية استبدال المنتج التي يتم استخدامها عندما تريد سحب العناصر من مجموعة كبيرة ، على سبيل المثال مجموعة تحتوي على عدد من العناصر أكثر من عدد الجسيمات في الكون. هذا خوارزمية لقد كان موجودًا منذ التسعينيات ويعمل بشكل أفضل بكثير مما كان متوقعًا. يشرح مقالنا سبب نجاحه - يقول البروفيسور كيلاك.

ويضيف: علم الحاسوب هو علم جديد فيزياء. ما يحيط بنا ليس مجرد جسيمات ، بل خوارزميات بشكل متزايد. ستكون مهمتنا كعلماء رياضيات هي فهم الخوارزميات ، وإظهار سبب نجاحها أو عدم نجاحها ؛ لماذا هم سريعون أو بطيئون. اعتمد العلماء على حسابات الكمبيوتر لإثباتهم الرياضي. لم يكن استخدام أجهزة الكمبيوتر لإثبات النظريات في الرياضيات في السابق أمرًا أنيقًا بشكل خاص. مجتمع عالم رياضيات نظرية في الغالب تجعد أنفه في أجهزة الكمبيوتر. ولكن هنا نجح هذا النهج الحديث بشكل جيد للغاية.

الكمبيوتر فقط قام بالأعمال الروتينية. لكنها لم تحل محل المنطق. كانت فكرتنا هي تطبيق اختزال مشكلة لا نهائية على مشكلة محدودة - كما يقول البروفيسور كيلاك. ويضيف ماريك كالوبا: لدينا مشكلتنا في واحد مشكلة التحسين خفضت ثم لهذا التحسين الأدوات القياسية المستخدمة - الخوارزميات التي يستخدمها المهندسون لتصميم المكونات.

لذلك تم تكليف الكمبيوتر بإيجاد مصفوفة تفي بمعايير معينة. قامت الآلة بإنشاء حل ، والتحقق من مدى استيفائه للشروط المحددة ، وتحسين هذه المصفوفة تدريجيًا من أجل تحقيق أقل معدل خطأ ممكن. كان السؤال الوحيد هو مدى صغر هامش الخطأ الذي يمكن أن تحققه ؛ اتضح أن خطأ الكمبيوتر في التقريب النهائي كان صغيرًا جدًا جدًا. لذا فإن حساب الكمبيوتر جعل ذلك ممكنًا - بالآخرين الصحيحين الحجج الرياضية - الحصول على أدلة صارمة.

الذي تم إنشاؤه بواسطة الكمبيوتر تحتوي المصفوفة على 4,5 ألف عمود و 4,5 ألف صف. يوضح ماريك كالوبا أن المشكلة التي كانوا يعملون عليها كانت في البداية أكبر من أن يتم حلها بأنفسهم باستخدام كمبيوتر عملاق. لذلك استخدمنا التماثلات الداخلية لهذه المشكلة لتسهيل إيجاد حل - كما يقول. ويوضح أنه يمكن أيضًا استخدام نهج مشابه لحل المشكلات الأخرى في مجال تحسين الكائنات عن طريق الهندسة تناظرات ملحوظ هي. ستكون هذه التناظرات (في الشكل الجبري) ملحوظة أيضًا في مشكلة التحسين ويمكن استخدامها من أجل تقليل التعقيد يمكن استخدامها - كما يقول د. كالوبا. ويضيف: على الرغم من أننا نتعامل مع الرياضيات المجردة ، إلا أننا نريد أن يكون برنامجنا مفيدًا في التطبيقات التقنية أيضًا.